对卷积的理解

已知有输入信号\(f(t)\),  且输入后的信号会按\(g(t)\)变化;输出的信号是所有信号的叠加,那么这个输出信号可以怎么表示呢?

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在最开始,输入信号\(f(t_0)\), 输出的信号为\(f(t_0)g(t_0)\);

在\( t=t_0+\delta t \), 输出信号为现在和之前的信号叠加:\(f(t)g(t_0)+f(t_0)g(t)\);

在\( t=t_0+2\delta t \), 输出信号为\(f(t)g(t_0)+f(t_0+\delta t)g(t-\delta t)+f(t_0)g(t)\);

\(… \)

所以,在\(t\)时刻,输出信号为\(W(t)=\int_{- \infty }^{+ \infty} f(\tau)g(t-\tau)\mathrm{d}\tau\),

这个\(W(t)\)就为\(f(t)\)和\(g(t)\)的卷积。

\(W(t)\) is derived by convolving \(g(t)\) with \(f(t)\).

 

观测上式,发现卷积也可以理解为两矢量的点乘,但是其中一个矢量翻转了一下。

所以卷积不仅可以用于某人边被打边消肿,馒头边被生产边腐烂这类情况。

例如把矢量扩充成矩阵,就可以对图案卷积,达到模糊或者描边的效果。

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