场方程

这是一个标量场、旋量场、和矢量场的自由场方程的简单汇总。首先写出场的Lagrangian,然后代入Eular-Lagrange equation求得对应的场方程。

Eular-Lagrange equation: \( \partial _{\mu }\frac{\partial {\cal L}}{\partial (\partial_{\mu} \psi)} – \frac{\partial {\cal L}}{\partial \psi}=0 \)。


标量场 (Klein-Gordon 场; 用于描述自旋为零的粒子):

$${\cal L}_{K-G}=\frac{1}{2}(\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{2})$$

$$(\partial ^{\mu }\partial _{\mu }+m^{2})\phi =0$$

旋量场 (Dirac 场; 用于描述自旋-1/2的费米子,如:电子、质子、夸克等粒子。狄拉克场描述的粒子存在反粒子):

$${\cal L}_{Dirac}=\bar{\psi }(i/\kern-0.60em \partial -m)\psi $$

$$(i/\kern-0.60em \partial -m)\psi =0,\ i\partial _{\mu}\bar{\psi} \gamma ^{\mu }+m\bar{\psi}=0$$

$$where \  \bar{\psi }=\psi ^{+}\gamma ^{0},/\kern-0.60em \partial =\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$$

旋量场(Majorana 场; 描述的粒子即为自身的反粒子): 略

矢量场 (Maxwell场+规范固定项):

$${\cal L}=-\frac{1}{4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-\frac{\lambda}{2}(\partial_{\mu}A^{\mu})^2$$

$$\partial_{\mu}\partial^{\mu}A^{\nu}-(1-\lambda)\partial^{\nu}(\partial_{\sigma}A^{\sigma})=0$$

$$where \ F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$$


下面是一些曾经遇到的散射。随便记记,不想另外开贴了,借此宝地。对应的费曼图我不整理了。反正以后也没机会用到了…前三个是QED反应;\(\gamma\) 是光子。

$$e^{+}e^{-}\rightarrow 2\gamma$$

$$e^{-}e^{-}\rightarrow e^{-}e^{-} \ (Møller\ scattering)$$

$$e^{+}e^{-}\rightarrow e^{+}e^{-}\rightarrow \ (BhabBha\ scattering)$$

$$e^{-}\gamma \rightarrow e^{-}\gamma \ (Compton \ scattering)$$

$$e^{-}\mu^{-} \rightarrow e^{-}\mu^{-}$$

$$e^{+}e^{-}\rightarrow u^{+}u^{-}$$

 

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